Решение показательных уравнений. Примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое показательное уравнение ? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.
Вот вам примеры показательных уравнений :
3 х ·2 х = 8 х+3
Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа . В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!
Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)
Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
2 х +2 х+1 = 2 3 , или
двойки убирать нельзя!
Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.
"Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?"
Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.
Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
2 2х - 8 х+1 = 0
Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что
Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:
8 х+1 = (2 3) х+1
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
(а n) m = a nm ,
то вообще отлично получается:
8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
2 2х - 2 3(х+1) = 0
Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
2 2х = 2 3(х+1)
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
Решаем этого монстра и получаем
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 - это всё 64.
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
3 2х+4 -11·9 х = 210
И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:
9 х = (3 2) х = 3 2х
По тем же правилам действий со степенями:
3 2х+4 = 3 2х ·3 4
Вот и отлично, можно записать:
3 2х ·3 4 - 11·3 2х = 210
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
3 2х (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Пример становится всё лучше и лучше!
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
Оп-па! Всё и наладилось!
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
Решим уравнение:
4 х - 3·2 х +2 = 0
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.
4 х = (2 2) х = 2 2х
Получаем уравнение:
2 2х - 3·2 х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2 х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!
Итак, пусть
Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1:
Стало быть,
Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
Гм... Слева 2 х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
Это ответ.
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?" , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".
Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.
Решить показательные уравнения:
Посложнее:
2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48
9 х - 8·3 х = 9
2 х - 2 0,5х+1 - 8 = 0
Найти произведение корней:
2 3-х + 2 х = 9
Получилось?
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):
7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х
Пример попроще, для отдыха):
9·2 х - 4·3 х = 0
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Примеры:
\(4^x=32\)
\(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\)
\((\sqrt{7})^{2x+2}-50\cdot(\sqrt{7})^{x}+7=0\)
Как решать показательные уравнения
При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Например: \(2^{x+1}=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
- число в
слева и справа должно быть одинаковым;
- степени слева и справа должны быть «чистыми»
, то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д.
Например:
Для привидения уравнения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) применяются и .
Пример
. Решить показательное уравнение \(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)
Решение:
\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\) |
Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\) |
По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b)^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\) |
Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\) |
Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=(3^{-1})^{2x}\) |
Применив свойство \((a^b)^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1})^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\) |
И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример
. Решить показательное уравнение \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)
Ответ : \(-1; 1\). Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования. Показательные уравнения, не имеющие решенийРазберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников: Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем: \(x=-1\); \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\) Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу: Положительное число в любой степени останется положительным числом.Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений. Показательные уравнения с разными основаниямиВ практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа. Например: \(7^{x}=11^{x}\) Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем: \(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\) Пример
. Решить показательное уравнение \(5^{x+7}=3^{x+7}\)
Ответ : \(-7\). Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос. Пример
. Решить показательное уравнение \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)
Ответ : \(2\). |
Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а х = а b , где а> 0, а 1, х - неизвестное.
Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.
При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a x , a > 0, a1:
Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.
Задачи и тесты по теме "Показательные уравнения"
- Показательные уравнения
Уроков: 4 Заданий: 21 Тестов: 1
- Показательные уравнения - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 14
- Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1
- §2.1. Решение показательных уравнений
Уроков: 1 Заданий: 27
- §7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 17
Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.
При решении показательных уравнений используют два основных метода:
- переход от уравнения a f(x) = a g(x) к уравнению f(x) = g(x);
- введение новых прямых.
Примеры.
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.
3 x = 9 x – 2 .
Решение:
3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
Ответ: 4.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.
Решение:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
Ответ: 3.
3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
Решение:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Обозначаем 2 x = у.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
Ответ: log 2 3.
4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.
3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х – 2 = 5 х + 2 х – 2 .
3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х – 2 ×23 = 5 х – 2
×23
2 х – 2 = 5 х – 2
(5/2) х– 2 = 1
х – 2 = 0
х = 2.
Ответ: 2.
5. Уравнения, однородные относительно a x и b x .
Общий вид: .
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x .
Решение:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Обозначим (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.
Ответ: log 3/2 2; - log 3/2 2.
1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
2º. Основные способы решения показательных уравнений :
1) простейшее уравнение имеет решение ;
2) уравнение вида логарифмированием по основанию a сводят к виду ;
3) уравнение вида равносильно уравнению ;
4) уравнение вида равносильно уравнению .
5) уравнение вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность простейших показательных уравнений ;
6) уравнение со взаимно обратными величинами заменой сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений ;
7) уравнения, однородные относительно a g (x) и b g (x) при условии вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений .
Классификация показательных уравнений.
1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию .
Пример 18. Решить уравнение .
Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: .
2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени .
Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему.
Пример 19. Решить уравнение:
3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки .
Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем.
Пример 20. Решить уравнение .
Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:
Пример 21. Решить уравнение
Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки:
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям .
К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения:
а) вида подстановкой , при этом ;
б) вида подстановкой , при этом .
Пример 22. Решить уравнение .
Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение:
.
Ответ: 0; 1.
5. Однородные относительно показательных функций уравнения.
Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных a x и b x . Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям.
Пример 23. Решить уравнение .
Решение: Разделим обе части уравнения на :
Положив , получим квадратное уравнение с корнями .
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x .
Ответ: -1/2.
6. Рациональные относительно показательных функций уравнения .
Пример 24. Решить уравнение .
Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3 x и получим вместо двух – одну показательную функцию:
7. Уравнения вида .
Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или .
Пример 25. Решить уравнение: .
.
Дидактический материал.
Решите уравнения:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
9. ; 10. ; 11. ;
14. ; 15. ;
16. ; 17. ;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23. ;
24. ; 25. .
26. Найдите произведение корней уравнения .
27. Найдите сумму корней уравнения .
Найдите значение выражения:
28. , где x 0 – корень уравнения ;
29. , где x 0 – целый корень уравнения .
Решите уравнение:
31. ; 32. .
Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема №8.
Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.
2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:
если , то неравенство равносильно ;
если , то неравенство равносильно .
При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.
Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию ).
Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .
Решив последнее неравенство, получим .
Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки ).
Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:
Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .
Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной ).
Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .
Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .
Дидактический материал.
Укажите множество решений неравенства:
1. ; 2. ; 3. ;
6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?
7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?
Решите неравенство:
8. ; 9. ; 10. ;
13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .
14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .
Решите неравенство:
15. ; 16. ; 17. ;
18. ; 19. ; 20. ;
21. ; 22. ; 23. ;
24. ; 25. ; 26. .
Найдите область определения функции:
27. ; 28. .
29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3:
и .
Ответы:
11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. }