Вероятность произведения зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило, т. е.
P (A · B ) = P (A ) · P A (B ). (24)
Формула умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий A 1 , A 2 , … , A m :
P
(A
1 · A
2 ·…
· A m
) = P
(A
1) · P A
1 (A
2) ×
× P A
1 A
2 (A
3) ·…· P A
1A
2…A
m
–1 (A m
), (25)
Причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.
Пример 1.15. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Какова вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода?
Решение. Введем обозначения событий: A – «первого июля будет ясная погода»; B – «второго июля будет ясная погода»; A и B – события зависимы, AB – «первого и второго июля будет ясная погода».
Вероятность того, что первого июля будет ясная погода, равна . Вероятность того, что второго июля будет ясная погода, при условии, что первого июля была ясная погода, равна 
. Тогда искомая вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна 
.
Пример 1.16. Найти вероятность того, что наудачу написанная простая дробь сократится на 2.
Решение. Обозначим A – событие, заключающееся в том, что «дробь сократится на 2»; B – событие «числитель дроби делится на 2»; C – «знаменатель дроби делится на 2».
Так как каждое второе число делится на 2, то 
.
B и C – независимые события.
А
= В
· С
; 
.
Пример 1.17. Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность того, что на монете выпал герб, а на кости – число очков, кратное 3?
Решение.
Пусть событие A
– «на монете выпал герб», событие
B
– «на игральной кости выпало число очков, кратное 3».
, 
.
Пусть событие C – «одновременное появление событий A и B ». Следовательно, C = A · B . Так как A и B события независимые, то вероятность появления события С равна
Пример 1.18.
Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на
3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?
Решение.
Событие A
– «попадание в первый сектор», событие
B
– «попадание во второй сектор». Данные события несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй).
Событие C – «попадание либо в первый, либо во второй сектор», т. е. С = A + B. Тогда Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ) = 0,4 + 0,3 = 0,7.
Пример 1.19. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно 2 раза?
Решение. Пусть A k – «выпадение цифры при k -том подбрасывании монеты» (k = 1, 2, 3); A – «выпадение двух цифр при трех подбрасываниях». Тогда . Слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, следовательно
Так как события A 1 , A 2 , A 3 – независимы, тогда
Пример 1.20. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.
Решение.
Событие A
– «наудачу взятое двухзначное число кратно 2», событие B
– «наудачу взятое двухзначное число кратно 7». Найдем P
(C
) = P
(A
+ B
). Так как A
и B
– события совместные, то P
(A
+ B
) =
= P
(A
) + P
(B
) – P
(AB
).
Двухзначных чисел всего 90, из них 45 – кратны двум (являются четными) и благоприятствуют событию A ; 13 чисел кратны семи и благоприятствуют событию B ; 7 чисел кратны двум и семи одновременно и благоприятствуют событию AB .
; 
; 
.
Следовательно, 
.
Пример 1.21. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
Решение.
Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах (событие A
), согласно формуле (22), равна P
(A
) = 1 –
– q
3 , где q
– вероятность промаха. По условию P
(A
) = 0,875. Следовательно, 0,875 = 1 – q
3 или q
3 = 1 – 0,875, q
= 0,5. По формуле (18) определим вероятность появления события А
: p
= 1 – 0,5 = 0,5.
Однородные Марковские процессы.
1. Пусть {E 1 , E 2 , E 3 } – возможные состояния системы и P – матрица вероятностей перехода из состояния в состояние за один шаг:
Построить граф, соответствующий матрице Р.
2. На окружности расположены шесть точек E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 , E 6 равноотстоящих друг от друга. Частица движется из точки в точку следующим образом. Из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью ¼ или в диаметрально противоположную точку с вероятностью ½. выписать матрицу вероятностей перехода для этого процесса и построить граф соответствующий этой схеме.
Ответ:
3. Погода на некотором острове через длительные периоды времени становится то дождливой (Д), то сухой (С). Вероятности ежедневных изменений заданы матрицей:
|
|
|
а) Если во вторник погода дождливая, то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайший четверг?
б) если во вторник ожидается дождливая погода с вероятностью 0,3 (0,8), то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайший четверг?
Ответ: I а) 0,61; б) 0,547; II - ?
4. Электрон может находиться на одной из счетного множества орбит в зависимости от наличной энергии. Переход с i-той орбиты на j-тую происходит за 1 секунду с вероятностью
Найти: а) вероятность перехода за 2 секунды
б) постоянную с i
Ответ: а)
Замечание: здесь рассматривается физический процесс с бесконечным (счетным) множеством состояний.
5. Рассмотрим Марковскую цепь с двумя состояниями S 1 и S 2 и матрицей вероятностей перехода.
.
С помощью особого устройства случайного
выбора выбирают состояние, с которого
начинается процесс. Это устройство
выбирает S 1 с вероятностью ½ и S 2 с вероятностью ½.
Требуется: а) найти вероятность того, что после первого шага этот процесс перейдет в состояние S 1 .
б) то же самое для случая, когда устройство выбирает S 1 с вероятностью ¼ и S 2 с вероятностью ¾.
6. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает корабль В с вероятностью ½, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Рассматриваются результаты серии выстрелов. найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: S 1 – оба корабля в строю, S 2 – в строю корабль А, S 3 – в строю корабль В, S 4 – оба корабля поражены.
Ответ:
7. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид
а)
,
б)
Распределение по состояниям в момент времени t=0 определяется вектором: а) (0.7; 0.2;0;1) б) (0; 0; 0; 1)
распределение по состояниям в момент t=2;
вероятность того, что в моменты t=0; 1; 2; 3 состояниями цепи будут соответственно S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ;
стационарное распределение
Ответ: 1) (0.385; 0.336; 0.279); 2) 0.3366; 3) (16.47;17.47; 14.47)
Указание: Найти P 2
8. Даны вектор начальных вероятностей (a 1 , a 2 , …,a r) и переходные вероятностиp ij (i,j=1, 2, …,r) цепи Маркова. Найти вероятность того, что в моменты времени n 1 , n 2 , …,n s состояниями цепи будут соответственноS i 1 ,S i 2 , …,S in .
Здесь моменты времени не обязательно являются соседними.
9. Доказать, что если для пи Маркова с матрицей вероятностей перехода (p ij) в качестве вектора начальных вероятностей взять предельные вероятности (b 1 ,b 2 , …,b n), то этот вектор не будет изменяться со временем.
10. В некоторой местности климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух одинаковых ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Если сегодня снег (или дождь), то с вероятность ½ погода не измениться. Если все же она измениться, то в половине случаев снег заменяется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода.
Требуется:
а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды Д, Я, С выписать матрицу Р вероятностей перехода;
б) построить граф, соответствующий матрице Р;
в) определить вероятность хорошей погоды через три дня после дождя.
г) найти предельные вероятности.
Ответ: а)
г) (0; 4; 0.2; 0.4)
12. Матрица вероятностей перехода
,1
Определить вероятности перехода p ij и средние предельные вероятности
перехода
,
i,j=1,2,3,4.
Онлайн тест ЕГЭ по математике 2016 Вариант №25. Тест соответствует Федеральным Государственным Образовательным стандартам 2016. Для проходжения теста в вашем браузере должна быть включена функция JavaScript. Ответ вводится в специальное поле. Ответом является целое число или десятичная дробь, например: 4,25 (разделение разряда только через запятую). Единицы измерения не пишутся. После ввода предположительного ответа, нажмите кнопку "Проверить". По ходу решения Вы можете наблюдать за количеством набранных баллов. Все баллы по заданиям распределены в соответствии с КИМ.
ЗАДАНИЯ ЧАСТИ В
|
Не получается? Посмотреть ответ
Не получается? Посмотреть ответ
|
Не получается? Посмотреть ответ
Не получается? Посмотреть ответ
Не получается? Посмотреть ответ
№ 3. Вероятность того, что батарейка бракованная , равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Вероятность того, что взятая наугад батарейка исправна, равна 1-0,06 = 0,94
Р = 0,94*0,94 - вероятность, что и первая и вторая исправны
Ответ: 0,8836
№ 4. Автоматическая линия изготавливает батарейки . Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
Решение.
Вероятность, что готовая батарейка исправна равна 1-0,02=0,98
Р1 = 0,02*0,99 = 0,0198 - вероятность, что неисправную батарейку забракуют
Р2 = 0,98*0,01 = 0,0098 - вероятность, что исправная батарейка будет забракована
Р=Р1+Р2 = 0,0296
Ответ: 0,0296
№ 5 Вероятности того, что деталь определенного типа находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится не более, чем в трех ящиках.
Решение. Не более, чем в 3-х ящиках означает, что деталь находится в одном, двух или трех ящиках. Противоположное событие - деталь находится во всех четырех ящиках. Найдем вероятность этого противоположного события.
Р1 = 0,6*0,7*0,8*0,9 = 0,3024, тогда Р = 1- Р1 = 1 - 0,3024 = 0,6976
Ответ: 0,6976
№ 6. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажутся не бракованными.
Решение. Вероятность, что деталь бракованная равна 0,2, что деталь без брака равна 1-0,2=0,8.
Р1= 0,2*0,8*0,8 = 0,128 - вероятность того, что первая деталь бракрованная, а вторая и третья нет.
Р2=0,8*0,23*0,8 = 0,128 - вторая бракованная, аналогично Р3=0,128 - третья бракованная.
Р = Р1+Р2+Р3 = 3*0,128 = 0,384