Методы решения тригонометрических уравнений
Введение 2
Методы решения тригонометрических уравнений 5
Алгебраический 5
Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7
Разложение на множители 8
Приведение к однородному уравнению 10
Введение вспомогательного угла 11
Преобразование произведения в сумму 14
Универсальная подстановка 14
Заключение 17
Введение
До десятого класса порядок действий многих упражнений, ведущий к цели, как правило, однозначно определен. Например, линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, и т.п. Не разбирая подробно принцип решения каждого из упомянутых примеров, отметим то общее, что необходимо для их успешного решения.
В большинстве случаев надо установить, к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения и вспомнить последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.
Совершенно иная ситуация получается, когда школьник встречается с тригонометрическими уравнениями. При этом установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь перед учеником встают две проблемы. По внешнему виду уравнения трудно определить тип. А не зная типа, почти невозможно выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.
Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их сначала знакомят с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным. Затем решают однородные уравнения и приводимые к ним. Все заканчивается, как правило, уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый из множителей к нулю.
Понимая, что разобранных на уроках полутора десятков уравнений явно недостаточно, чтобы пустить ученика в самостоятельное плавание по тригонометрическому "морю", учитель добавляет от себя еще несколько рекомендаций.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:
Привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
Привести уравнение к "одинаковым функциям";
Разложить левую часть уравнения на множители и т.п.
Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решались раньше. Остается неясным, к чему следует стремиться, имея то или иное уравнение, почему в одном случае надо применять формулы двойного угла, в другом - половинного, а в третьем - формулы сложения и т.д.
Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.
Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.
Определение 3. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.
Определение 4. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.
Определение 5. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos , называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
I . Алгебраический метод. Этот метод хорошо известен из алгебры. (Метод замены переменный и подстановки).
Решить уравнения.
1)
Введём обозначение x =2 sin 3 t , получим
Решая это уравнение, получаем:
или
т.е. можно записать
При записи полученного решения из-за наличия знаков степень
записывать не имеет смысла.
Ответ:
Обозначим
Получаем квадратное уравнение
. Его корнями являются числа
и
. Поэтому данное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям
и
. Решая их, находим, что
или
.
Ответ:
;
.
Обозначим
не удовлетворяет условию
Значит
Ответ:
Преобразуем левую часть уравнения:
Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:
, т.е.
Обозначив
, получим
Решив данное квадратное уравнение имеем:
не удовлетворяет условию
Записываем решение исходного уравнения:
Ответ:
Подстановка
сводит данное уравнение к квадратному уравнению
. Его корнями являются числа
и
. Так как
, то заданное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
II . Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций.
а)
, если
б)
, если
в)
, если
Используя данные условия, рассмотрим решение следующих уравнений:
6)
Пользуясь сказанным в п. а) получаем, что уравнение имеет решение в том и только в том случае, когда
.
Решая это уравнение, находим
.
Имеем две группы решений:
.
7) Решить уравнение:
.
Пользуясь условием п. б) выводим, что
.
Решая эти квадратные уравнения, получаем:
.
8) Решить уравнение
.
Из данного уравнения выводим, что . Решая это квадратное уравнение, находим, что
.
III . Разложение на множители.
Этот метод рассматриваем на примерах.
9) Решить уравнение
.
Решение. Перенесём все члены уравнения влево: .
Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
.
.
.
1)
2)
Т.к.
и
не принимают значение нуль
одновременно, то разделим обе части
уравнения на
,
Ответ:
10) Решить уравнение:
Решение.
или
Ответ:
11) Решить уравнение
Решение:
1)
2)
3)
,
Ответ:
IV . Приведение к однородному уравнению.
Чтобы решить однородное уравнение надо:
Перенести все его члены в левую часть;
Вынести все общие множители за скобки;
Приравнять все множители и скобки к нулю;
Скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
(или
) в старшей степени;
Решить полученное алгебраическое уравнение относительно
.
Рассмотрим примеры:
12) Решить уравнение:
Решение.
Разделим обе части уравнения на
,
Вводя обозначения
, именем
корни этого уравнения:
отсюда 1)
2)
Ответ:
13) Решить уравнение:
Решение. Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:
После приведения подобных слагаемых имеем:
Разделив однородное последнее уравнение на
, получим
Обозначу
, получим квадратное уравнение
, корнями которого являются числа
Таким образом
Выражение
обращается в нуль при
, т.е. при
,
.
Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.
Ответ:
, .
V . Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида
Где a, b, c - коэффициенты, x - неизвестное.
Разделим обе части этого уравнения на
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.
Тогда можно обозначить их соответственно
(здесь - вспомогательный угол) и наше уравнение принимает вид: .
Тогда
И его решение
Заметим, что введенные обозначения взаимно заменяемы.
14) Решить уравнение:
Решение. Здесь
, поэтому делим обе части уравнения на
Ответ:
15) Решить уравнение
Решение. Так как
, то данное уравнение равносильно уравнению
Так как
, то существует такой угол , что
,
(т.е.
).
Имеем
Так как
, то окончательно получаем:
.
Заметим, что уравнение вида имеют решение тогда и только тогда, когда
16) Решить уравнение:
Для решения данного уравнения сгруппируем тригонометрические функции с одинаковыми аргументами
Разделим обе части уравнения на два
Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение:
Ответ:
VI . Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются соответствующие формулы.
17) Решить уравнение:
Решение. Преобразуем левую часть в сумму:
VII. Универсальная подстановка.
,
эти формулы верны для всех
Подстановка
называется универсальной.
18) Решить уравнение:
Решение: Заменим и
на их выражение через
и обозначим
.
Получаем рациональное уравнение
, которое преобразуется в квадратное
.
Корнями этого уравнения являются числа
.
Поэтому задача свелась к решению двух уравнений
.
Находим, что
.
Значение вида
исходному уравнению не удовлетворяет, что проверяется проверкой - подстановкой данного значения t
в исходное уравнение.
Ответ:
.
Замечание. Уравнение 18 можно было решить иным способом.
Разделим обе части этого уравнения на 5 (т.е. на
):
.
Так как
, то существует такое число
, что
и
. Поэтому уравнение принимает вид:
или
. Отсюда находим, что
где
.
19) Решить уравнение
.
Решение. Так как функции
и
имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если
и
, одновременно, то есть
.
Ответ:
.
При решении этого уравнения применялась ограниченность функций и .
Заключение.
Работая над темой « Решения тригонометрических уравнений » каждому учителю полезно выполнять следующие рекомендации:
Систематизировать методы решения тригонометрических уравнений.
Выбрать для себя шаги по выполнению анализа уравнения и признаки целесообразности использования того или иного метод решения.
Продумать способы самоконтроля своей деятельности по реализации метода.
Научиться составлять « свои » уравнения на каждый из изучаемых методов.
Приложение №1
Решите однородные или приводящиеся к однородным уравнения.
1. | Отв. |
Отв. |
|
Отв. |
|
5. | Отв. |
Отв. |
|
7. | Отв. |
Отв. |
|
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Для всех формул k- целое число
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.
Пример.Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.
Ещё примеры тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk
Ответ: x=5πk, где k – целое число.
Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.
Ответ: x= π/16, x= 9π/16
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.Решим уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример решения уравнения
Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде
2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Решить пример №:3
Решить уравнение:Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1
Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Решить пример №:4
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Решить пример №:5
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнениеА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].
3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Урок комплексного применения знаний.
Цели урока.
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
- Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
- Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, справочный материал.
Ход урока
Вводная беседа.
Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.
II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)
1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.
Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.
2. Метод разложения на множители.
Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод введения дополнительного угла.
4. Метод использования универсальной подстановки.
Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки
Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.
Концепция решения тригонометрических уравнений.
- Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.
Решение основных тригонометрических уравнений.
- Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
- sin x = a; cos x = a
- tg x = a; ctg x = a
- Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
- Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
- Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
- x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
- Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
- Ответ: х = π/4 + πn.
- Пример 4. ctg 2x = 1,732.
- Ответ: х = π/12 + πn.
Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.
- Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
- Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.
-
Нахождение углов по известным значениям функций.
- Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
- Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.
-
Отложите решение на единичной окружности.
- Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
- Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
- Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.
-
Методы решения тригонометрических уравнений.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
- Метод 1.
- Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
- Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
- Метод 2.
- Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
- Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).