Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .

А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.

При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы

Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:

$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$

Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..

Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.

Некоторые свойства биссектрисы

В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.

Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.

Определения:

• Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
• Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.

Пример задания

В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.

Рис. 3. Биссектриса в треугольнике

Решение:

Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.

• ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
• $RC={6\over{4}}*2=3 см$

Тогда весь отрезок AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 см.

Всего получено оценок: 107.

Что такое биссектриса угла треугольника? На этот вопрос у некоторых людей с языка срывается небезызвестная крыса, бегающая по углам и делящая угол пополам". Если ответ должен быть "с юмором", то, возможно, он правилен. Но с научной точки зрения ответ на этот вопрос должен был бы звучать примерно так: начинающийся в вершине угла и делящий последний на две равные части". В геометрии эта фигура также воспринимается как отрезок биссектрисы до ее пересечения с противолежащей сторонй треугольника. Это не является ошибочным мнением. А что еще известно о биссектрисе угла, кроме ее определения?

Как и у любого геометрического места точек, у нее имеются свои признаки. Первый из них - скорее, даже не признак, а теорема, которую можно кратко выразить так: "Если биссектрисой разделить противоположную ей сторону на две части, то их отношение будет соответствовать отношению сторон большого треугольника".

Второе свойство, которое она имеет: точка пересечения биссектрис все углов называется инцентром.

Третий признак: биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в центре одной из трёх в нее вписанных окружностей.

Четвертое свойство биссектрисы угла треугольника в том, что если каждый из них равен, то последний является равнобедренным.

Пятый признак тоже касается равнобедренного треугольника и является главным ориентиром по его распознаванию на чертеже по биссектрисам, а именно: в равнобедренном треугольнике она одновременно выполняет роль медианы и высоты.

Биссектриса угла может быть построена с помощью циркуля и линейки:

Шестое правило гласит, что невозможно построить треугольник с помощью последних только при имеющихся биссектрисах, как и невозможно построить таким способом удвоение куба, квадратуру круга и трисекцию угла. Собственно говоря, это и есть все свойства биссектрисы угла треугольника.

Если вы внимательно читали предыдущий абзац, то, возможно, вас заинтересовало одно словосочетание. "Что такое трисекция угла?" - наверняка спросите вы. Триссектриса немного схожа с биссектрисой, но если начертить последнюю, то угол поделится на две равные части, а при построении трисекции - на три. Естественно, что биссектриса угла запоминается легче, ведь трисекцию в школе не учат. Но для полноты картины расскажу и о ней.

Триссектрису, как я уже сказала, нельзя построить только циркулем и линейкой, но ее возможно создать с помощью правил Фудзиты и некоторых кривых: улитки Паскаля, квадратрисы, конхоиды Никомеда, конических сечений,

Задачи по трисекции угла достаточно просто решаются при помощи невсиса.

В геометрии существует теорема о триссектрисах угла. Называется она теоремой Морли (Морлея). Она утверждает, что точки пересечения находящихся посередине триссектрис каждого угла будут вершинами

Маленький черный треугольник внутри большого всегда будет равносторонним. Эта теорема была открыта британским ученым Фрэнком Морли в 1904 году.

Вот сколько всего можно узнать о разделении угла: триссектриса и биссектриса угла всегда требуют детальных объяснений. А ведь здесь было приведено множество еще не раскрытых мной определений: улитка Паскаля, конхоида Никомеда и т.д. Не сомневайтесь, о них можно написать еще больше.

СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ

Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D

Формулы длины биссектрисы:

Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника

Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Ответ: P = 30см.

Задача 2 . Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите О D .

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l = . 2 + 1 = 3 части всего.

это 1 часть  OD = Ответ: OD =

Задачи В ∆ ABC проведены биссектрисы AL и BK . Найдите длину отрезка KL , если AB = 15, AK =7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена биссектриса AD , а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е. Найдите отношение площадей ∆ ABC и ∆ BDE , если AB = 5, AC = 7. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18см. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b . 7. Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Ответы: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Геометрия - одна из самых сложных и запутанных наук. В ней то, что кажется на первый взгляд очевидным, очень редко оказывается правильным. Биссектрисы, высоты, медианы, проекции, касательные - огромное количество действительно непростых терминов, запутаться в которых очень легко.

На самом деле при должном желании можно разобраться в теории любой сложности. Когда дело заходит о биссектрисе, медиане и высоте, нужно понимать, что они свойственны не только треугольникам. На первый взгляд это простые линии, но у каждой из них есть свои свойства и функции, знание которых существенно упрощает решение геометрических задач. Итак, что же такое биссектриса треугольника?

Определение

Сам термин "биссектриса" происходит из сочетания латинских слов "два" и "сечь", "резать", что уже косвенно указывает на её свойства. Обычно, когда детей знакомят с этим лучом, им предлагается для запоминания коротенькая фраза: «Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Естественно, такое объяснение не подойдёт для школьников старшего возраста, к тому же у них обычно спрашивают не об угле, а о геометрической фигуре. Так что биссектриса треугольника - это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части. Точка противоположной стороны, в которую приходит биссектриса, для произвольного треугольника выбирается случайным образом.

Базовые функции и свойства

Основных свойств у этого луча немного. Во-первых, из-за того, что биссектриса треугольника делит угол напополам, любая точка, лежащая на ней, будет находиться на равном расстоянии от сторон, образующих вершину. Во-вторых, в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы, по числу имеющихся углов (следовательно, в том же четырёхугольнике их будет уже четыре и так далее). Точка, в которой все три луча пересекутся, является центром окружности, вписанной в треугольник.

Свойства усложняются

Немного усложним теорию. Ещё одно интересное свойство: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению образующих вершину сторон. На первый взгляд это сложно, но на самом деле всё просто: на предложенном рисунке RL:LQ = PR:PK. Кстати, это свойство получило название "Теорема о биссектрисе" и впервые появилось ещё в работах древнегреческого математика Евклида. Вспомнили его в одном из российских учебников только в первой четверти семнадцатого века.

Ещё чуть сложнее. В четырёхугольнике биссектриса отсекает равнобедренный треугольник. На этом рисунке обозначены все равные углы для медианы AF.

А ещё в четырёхугольниках и трапециях биссектрисы односторонних углов перпендикулярны друг другу. На представленном чертеже угол APB составляет 90 градусов.

В равнобедренном треугольнике

Биссектриса равнобедренного треугольника - гораздо более полезный луч. Она одновременно является не только делителем угла напополам, но и медианой, и высотой.

Медиана - это отрезок, который выходит из какого-то угла и падает на середину противолежащей стороны, разделяя её тем самым на равные части. Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону, именно с её помощью любую задачу можно свести к простой и примитивной теореме Пифагора. В данной ситуации биссектриса треугольника равна корню из разности квадрата гипотенузы и другого катета. Кстати, именно это свойство встречается в геометрических задачах чаще всего.

Для закрепления: в данном треугольнике биссектриса FB является медианой (AB=BC) и высотой (углы FBC и FBA составляют 90 градусов).

В общих чертах

Итак, что же нужно запомнить? Биссектриса треугольника - это луч, который делит его вершину пополам. На пересечении трёх лучей находится центр окружности, вписанной в данный треугольник (единственный минус этого свойства в том, что оно не имеет практической ценности и служит только для грамотного выполнения чертежа). Она же делит противолежащую сторону на отрезки, отношение которых равно отношению сторон, между которыми прошёл этот луч. В четырёхугольнике свойства чуть усложняются, но, признаться, они практически не встречаются в задачах школьного уровня, поэтому обычно не затрагиваются в программе.

Биссектриса равнобедренного треугольника - предел мечтаний любого школьника. Она одновременно является и медианой (то есть делит противолежащую сторону пополам), и высотой (перпендикулярна этой стороне). Решение задач с такой биссектрисой сводится к теореме Пифагора.

Знание базовых функций биссектрисы, а также основных её свойств необходимо для решения геометрических задач как среднего, так и высокого уровня сложности. На самом деле встречается этот луч только в планиметрии, так что нельзя говорить о том, что зазубривание информации о нём позволит справляться со всеми типами заданий.

Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой.

Вконтакте

Суть понятия

Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» — две, «сектио» — разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части .

Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.

Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.

Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной . Причем начало обозначения записывается именно из вершины.

Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.

Свойства

Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной , а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:

1. Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон , которые составляют пространство между лучами.
2. Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
3. Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон .

Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.

Длина

Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

• величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок;
• длины сторон, которые образуют этот угол.

Для решения поставленной задачи используется формула , смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

• известны значения всех сторон фигуры.

При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр . Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о «приключениях» этой прямой.