Формулы корней квадратного уравнения. Рассмотрены случаи действительных, кратных и комплексных корней. Разложение на множители квадратного трехчлена. Геометрическая интерпретация. Примеры определения корней и разложения на множители.

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что - действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения :
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь - мнимая единица, ;
и - действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 - 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда


.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):

Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю - всё аналогично.

Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае превратиться в :

Решение неполных квадратных уравнений.

Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является , поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через ). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.

Пример : Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение :

		У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1}=\)\(\frac{-0+\sqrt{324}}{2\cdot3}\) \(=\)\(\frac{18}{6}\) \(=3\) \(x_{2}=\)\(\frac{-0-\sqrt{324}}{2\cdot3}\) \(=\)\(\frac{-18}{6}\) \(=-3\)		Записываем ответ

Ответ : \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)

Пример : Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение :

		Опять неполное квадратное уравнение, но теперь нулю равен коэффициент \(c\). Записываем уравнение как полное.

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14 , его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2 . Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а , решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7 , а их произведение 12 . Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4 . Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Якупова М.И. 1

Смирнова Ю.В. 1

1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 11

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

История квадратных уравнений

Вавилон

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Древняя Греция

Решением квадратных уравнений занимались и в Древней Греции такие ученые как Диофант, Евклид и Герон. Диофант Диофант Александрийский - древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта - «Арифметика» в 13 книгах. Евклид. Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике Герон. Герон - греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения

Индия

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом x2 - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Квадратные уравнения в Европе XVII века

Формулы решения квадратных уравнений по образцу Ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Определение квадратного уравнения

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c - числа, называется квадратным.

Коэффициенты квадратного уравнения

Числа а, b, с - коэффициенты квадратногоуравнения.а - первый коэффициент (перед х²), а ≠ 0;b - второй коэффициент (перед х);с - свободный член (без х).

Какие из данных уравнений не являются квадратными ?

1. 4х² + 4х + 1 = 0;2. 5х - 7 = 0;3. - х² - 5х - 1 = 0;4. 2/х² + 3х + 4 = 0;5. ¼ х² - 6х + 1 = 0;6. 2х² = 0;

7. 4х² + 1 = 0;8. х² - 1/х = 0;9. 2х² - х = 0;10. х² -16 = 0;11. 7х² + 5х = 0;12. -8х²= 0;13. 5х³ +6х -8= 0.

Виды квадратных уравнений

Название	Общий вид уравнения	Особенность (какие коэффициенты)	Примеры уравнений
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - числа, отличные от 0	1/3х 2 + 5х - 1 = 0
Неполные
			х 2 - 1/5х = 0
Приведенные	x 2 + bx + c = 0		х 2 - 3х + 5 = 0

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Способы решения квадратных уравнений

I способ. Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения ax 2 + b + c = 0 в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражениеD = b 2 - 4ac

Выведение формулы:

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D0, а {displaystyle {sqrt {-1}}=i} = i.

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b III способ. Решение неполных квадратных уравнений

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:a + b = c , то его корнями являются -1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (-c/a ).

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю, то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (c/a ).

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида {displaystyle ax^{2}+bx+c(anot =0)}ax 2 + bx + c(a ≠ 0) удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей {displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}(kx + m)(lx + n), то можно найти корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 - ими будут -m/k и n/l, действительно, ведь {displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0}(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид {displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}ax 2 + 2abx + b 2 , то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к достаточно громоздким вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) {displaystyle x_{1},x_{2}}х 1 , х 2 будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

х 1 + х 2 = -b/a, х 1 * х 2 = c/а

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений {displaystyle y_{1}=ax_{1}} y 1 = ax 1 и y 2 = ax 2 .{displaystyle y_{2}=ax_{2}}

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент {displaystyle a}a положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент {displaystyle b} bположительный (при положительном {displaystyle a}a , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Применение квадратных уравнений в жизни

Квадратное уравнение широко распространено. Оно применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.

Рассмотрим и приведем некоторые примеры применения квадратного уравнения.

Спорт. Прыжки в высоту: при разбеге прыгуна для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета используют расчеты, связанные с параболой.

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

Астрономия. Траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Полет самолета. Взлет самолета главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускорения взлета.

Также квадратные уравнения применяются в различных экономических дисциплинах, в программах для обработки звука, видео, векторной и растровой графики.

Заключение

В результате проделанной работы выяснилось, что квадратные уравнения привлекали ученых еще в глубокой древности, они уже сталкивались с ними при решении некоторых задач и пробовали их решать. Рассматривая различные способы решения квадратных уравнений, я пришла к выводу, что не все они просты. На мой взгляд самым лучшим способом решения квадратных уравнений является решение по формулам. Формулы легко запоминаются, этот метод универсальный. Гипотеза, что уравнения широко применяются в жизни и математике подтвердилась. Изучив тему, я узнала много интересных фактов о квадратных уравнениях, их использовании, применении, видах, решениях. И я с удовольствием продолжу их изучение. Надеюсь, что это поможет мне хорошо сдать экзамены.

Список использованной литературы

Материалы сайтов:

Википедия

Открытый урок.рф

Справочник по элементарной математике Выгодский М. Я.

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.